从线性代数到量子力学(5):Stern-Gerlach实验(下)

PeiLingX

物理学等 2 个话题下的优秀答主


本文是深度科普系列《从线性代数到量子力学》的第5课。

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0) 前情提要

在本系列的前3课中,我们通过几个虚构的思想实验,理解了量子力学特有的叠加态,并对不确定性原理进行了一次初体验。

而在第4课中,我们来到了真实的物理世界,回顾了量子力学史上最重要的实验之一:斯特恩-盖拉赫(Stern-Gerlach)实验(以下简称SG实验 )。

这个实验通过对银原子磁矩的探测,向我们展示了量子叠加态的真实存在。

第4课介绍的,还仅仅是SG实验的“单机版”,而本文将继续介绍SG实验更为精彩的“联机版”:级联SG实验

我们会发现,两个或多个SG实验装置串联到一起之后,会有更神奇的现象发生。


1) 级联SG实验:版本1.0

我们知道,单机版SG实验中,银原子分成了上下两束,说明测量银原子 z 方向自旋时,原本处于叠加态的银原子状态,随机落到了两个本征态上。

我们将自旋磁矩为 +z 方向和 z 方向的银原子所在的本征态分别记为 |z+ |z

现在,我们将原来单机版实验装置中的接收屏撤掉,让其中处于 |z+ 态的银原子(也就是向上走的那一束银原子 )继续往前走。

接下来,我们在这束银原子的前进方向上,放置另一个一模一样的SG实验装置,这个装置仍然具有沿着 z方向变化的磁场(后文中,我们将 z 方向变化磁场的SG装置记为 SGz)。

为了方便表示,我们将上述实验装置化成抽象图:

现在问题来了:这束 |z+ 的银原子通过这个新的 SGz装置后,它还会不会分成两束?

经典直觉告诉我们:这束银原子具有确定的磁矩方向,即 +z方向,所以它们通过第二个 SGz 装置时,依然会向上偏转。

而事实的确也是如此。

(就像我们在第3课的量子糖思想实验中看到的那样,当我们尝了一次量子糖的味道之后,只要闭上眼睛不去观察它的颜色,那么无论我们多少次将量子糖放进嘴里重复品尝,它的味道都不会变 )

只不过,这里所说的“确定的磁矩方向”,其实已经不是经典意义上的“确定”了,而应该从叠加态的角度去解释。

我们在第4课中已经知道,当我们去测量银原子在 z 方向的自旋磁矩时,随机得到的两个结果,就是这个“ z方向自旋磁矩”对应的两个本征态,即|z+ |z

而我们在第1课就已经知道,一个对象的任意量子态,都可以表示成某个物理量对应的一组本征态的叠加。

用线性代数语言来说就是:任意向量都可以表示成某个线性算子的一组完备特征向量(也就是一组完备基底)的线性组合

所以,银原子的任意量子态 |ψ ,也都可以表示成两个本征态的叠加:

|ψ=kz+|z++kz|z(5.1)

其中两个系数满足:

|kz+|2+|kz|2=1(5.2)

这对本征态本身也成立,比如对于处于 |z+的银原子,它的状态就是:

|z+=1|z++0|z(5.3)

而根据我们在第2课中看到的系数的物理含义可知,系数的模方 |kz+|2 |kz|2 分别对应着测量 z方向自旋磁矩时、得到结果 |z+(即SG实验中向上偏转的银原子 )和 |z (SG实验中向下偏转的银原子 )的概率。

于是,对于已经处于本征态 |z+ 的银原子而言,当我们再去测量它在 z方向上的自旋磁矩时,它继续坍缩到本征态 |z+ 的概率就是1,而变成本征态 |z 的概率就是0。

体现在实验中就是:原来向上偏转的银原子束,通过第二个 SGz装置后,仍然全部向上偏转,没有例外。

有了这种叠加态的思维,我们才能比较顺畅地理解下一个版本的联机实验。


2) 级联SG实验:版本2.0

这是级联SG实验中最重要的一个版本。

在这个版本中,我们将再次看见不确定性原理的影子。

首先,我们仍然从单机版的 SGz 装置中筛选出 |z+ (自旋磁矩为 +z 方向 )的银原子,并且撤去接收屏,让这束银原子通过一个通过磁场沿 y方向的SG实验装置,记为SGy

实验的抽象图如下:

接下来,请各位猜一猜:处于 |z+ 状态的银原子,通过 SGy装置后,会发生什么事情?

按照经典直觉,进入磁场的银原子具有确定的磁矩方向 +z,而 SGy 装置中,磁场方向以及变化方向都是 y 方向,磁矩 μ 和磁感应强度梯度方向的夹角 π2 ,于是银原子受到的磁场力大小为:

F=μzByycosπ2=0(5.4)

这意味着,银原子会在SGy装置的磁场中直来直去,不发生在 y方向上发生任何偏转。

但实际结果却是,银原子又分裂成了两束,一束朝 +y 方向偏转,另一束朝 y方向偏转!

也就是说,原本自旋磁矩处于 +z 方向的银原子,通过 SGy装置后,自旋磁矩方向发生了惊天大转弯,变成了 +yy 中的一个。

并且,如果我们将 |y+|y两束银原子的数量分别数一遍,会发现它们大致相等。

是的,这必须又要用叠加态来解释了。

我们知道,“ z方向磁矩”具有两个本征态 |z+|z ,而“测量 y 方向磁矩”也有两个本征态 |y+|y ,也就是银原子束通过 SGy后分裂成的两束分别对应的量子态。

于是,我们可以将版本2.0的SG实验结果转换成量子语言:

|z+ 态的银原子,如果去测量它的 y 方向磁矩,那么银原子的状态会随机坍缩到 |y+|y 中的一个;

|y+|y 两束银原子的数量大致相等,就意味着,对 |z+ 态的银原子,测量 y 方向磁矩时,坍缩到|y+|y 的概率是相等的。

还记得我们在第3课的量子糖思想实验中,交替进行“看颜色”和“尝味道”两种行为时,发生的事情以及我们的解释吗?

(不记得的同学,建议先复习第3课内容 )

在这个级联SG实验中,我们可以将“测量 z 方向自旋磁矩”类比为“观察量子糖的颜色”,将“测量 y 方向自旋磁矩”类比为“品尝量子糖的味道”。

根据量子糖思想实验中的解释方式,我们可以推知: z方向自旋磁矩处于确定的本征态时,y方向自旋磁矩就处于不确定的叠加态 (这里又一次看到了不确定性原理的影子 )。

换句话说就是:z 方向自旋磁矩”对应的本征态,是“ y方向自旋磁矩”对应的本征态的线性叠加

这才是这次级联SG实验结果的正确打开方式。

而根据“ |z+态的银原子坍缩到 |y+|y的概率相等”这条线索,我们还能推知,将 |z+ 表示成|y+,|y 的线性叠加时,系数的模方也是相等的。

于是我们可以进一步猜出它们之间的一种可能的关系:

|z+=12|y++12|y(5.7)

同时也可以得到:

|z=12|y++12|y(5.8)

根据这个关系,我们还可以看出,两组本征态在态空间中的“夹角”是45度。

而我们知道,在“真实物理空间”中, z 方向磁矩和 y 方向磁矩的夹角是90度。

于是我们又一次看到了在第4课中提到的自旋磁矩“在真实物理空间中的夹角 θ”与“在态空间中的夹角 φ ”之间的倍数关系: θ=2φ

至于这背后是否有更精妙的数学结构,要到比较遥远的以后再揭晓答案了。

现在我们先记住这个关系就行。如果担心自己记不住,不妨来做个随堂练习巩固一下:

【练习5.1】

假设一个级联SG实验中,第一个装置是 SGz ,第二个装置的磁场方向再不是 y,而是yz 平面内一个与z θ 角的方向,将该装置记为 SGθ (如图)。银原子通过 SGz 后分成两束,我们筛选出 |z+对应的那束银原子,让它们通过 SGθ ,并再次分裂成两束,问:通过 SGθ 后的两束银原子中,向上偏转和向下偏转的银原子数量占比分别大约是多少?

(答案在文末附录中 )

暂时不想算的同学,可以跟着作者进入下一个版本的级联SG实验,它没有第二个版本那么烧脑,但依然很有意思。


3) 级联SG实验:版本3.0

这是一个有关“前世记忆”的实验,它是这样操作的:

先让银原子通过一个 SGz 装置,从中筛选出 |z+那束银原子,让它们通过一个 SGy 装置,然后从中又筛选出 |y+ 的银原子,让它们再次通过一个 SGz装置。

这样做是为了看看这些银原子是否还“记得”自己在上次通过 SGy 前,“曾经”是 |z+

已经有了量子思维的我们,可以很快得出结论:

通过第二个 SGz装置的银原子,将会再次均匀分裂成两束,因为它们进入第二个 SGz 装置前,已经处于 |y+=22|z+22|z 的状态。

也就是说,通过 SGy后落到 y方向自旋本征态的银原子,就像喝了一碗孟婆汤,忘却了它“前世是 |z+ ”的记忆,在再次通过 SGz 时,重新随机选择了自旋磁矩的本征态。

是的,量子世界就是这么绝情却又让人着迷。


4) 结语和预告

通过第4课和第5课的介绍,我们完整地看到了一例发生在真实物理世界中的量子叠加现象,并且再次感受到了不确定性原理的影子。

但“自旋”这个概念还是离我们的经典世界比较遥远,而我们在第1课开头提出的那些疑惑还几乎都没得到解答。

但没关系,通过这几节课的发酵,现在我们已经对态矢量以及它的物理意义有了一点感觉,并且能够通过线性代数在脑中形成关于它的几何图景。

从第6课开始的很长一段旅程里,我们就要用这些刚刚形成的认识,去解开一个个谜团了。

而在进入下一个主题之前,我们还要趁热打铁,利用本课刚刚新鲜出炉的“自旋”的量子性质,来理解量子力学在信息学中的一个重要应用:量子加密。

它的一个最原始也最简单的版本,是一种不可被伪造的货币:量子货币。

欲知详情,请移步番外编:


附录:

练习5.1答案:

向上偏转( |θ+ )的银原子占比为 cos2θ2;向下偏转( |θ )的银原子占比为sin2θ2

(有两位同学同时最先给出正确答案:Andy, RD巨佬;回头会送上小礼物~ )


编辑于 2021-11-30 13:22

从线性代数到量子力学(4):Stern-Gerlach实验(上)

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本文是深度科普系列《从线性代数到量子力学》的第4课。

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0) 前情提要

在本系列的前两课里,我们通过有名的“薛定谔的猫”思想实验,介绍了量子力学的正确打开方式:态矢量,以及它的向量性质。

而在第3课里,我们又通过无名的(作者自编的 )“量子糖的故事”思想实验,体验了一次如何利用态矢量的向量性质来理解不确定性原理的思路。

但正如第三课结尾所说,量子糖只是一个用来贴近生活的虚构案例,而现在,我们就要进入真实的物理世界,来见识量子糖的现实版本:

斯特恩-盖拉赫(Stern-Gerlach)实验 (以下简称SG实验 )

两位大神镇楼


1) 背景介绍:电子的自旋

简单来说,SG实验主要验证的是电子的自旋展示出的量子特性。

所以,为了理解SG实验,我们需要先大概了解一下,什么是自旋(Spin)。

对于生活在宏观世界中的我们而言,“自旋”似乎是一个只存在于微观世界、听起来非常缺乏真实感的概念。但实际上,我们是可以通过某些宏观现象来感受到它的存在的。

比如这个看起来很理所当然、却又不太好回答的问题:磁铁为什么能吸引铁

答案其实很简单,一句话就说完了:磁铁对铁的吸引力来自铁原子核外电子的自旋

但我相信,听完这句话以后,很多同学应该是更懵圈了。

原创图片,转载请注明

没关系,我们一步一步来解释。

首先,我们来看一道中学物理题:在一个均匀磁场中放一个圆形闭合小线圈,线圈所在平面与磁场垂直,线圈上有逆时针方向的电流流过,那么这个线圈受到的总的安培力大小为多少?

这个分析很简单:

在线圈上任取一段微元 dl ,则它受到的安培力大小为:

dF=BIdl(4.1)

方向水平向外,将 dF 在圆周上积分后,这些微元受力将会相互抵消,于是合力归为0.

现在,我们换个场景:有一个方向仍然是竖直方向、但磁感应强度大小沿着竖直方向变化的非均匀磁场,仍然将一个圆形闭合通电线圈垂直放到其中,那么它受到的合力是否还为0?

这个分析过程稍显复杂,我们这里不具体写出,只给出一个结论:

这种情形下,线圈将受到一个竖直向上的合力 Fz ,其大小和电流强度 I、线圈围成的面积 S 、磁感应强度的变化率 Bz 成正比

具体写出来就是:

Fz=ISBz(4.2)

这里我们令 μ=IS ,并将其定义为一个新的物理量,叫作“磁矩”。

于是上面那个例子中,磁力、磁矩和磁感应强度的分布之间就有这样一个关系:

Fz=μBz(4.3)

这里顺便说一句,磁矩其实是一个有方向的矢量,它的方向垂直于线圈所在平面,并且规定当电流方向为逆时针时磁矩为正(就像我们定义角速度方向一样 )。

所以上面那个式子其实有一个更普适的矢量式:

F=(μB)(4.4)

这里 μB 的点乘说明了力的大小还和磁矩与磁场的角度关系有关,这个我们稍后再说。

现在我们只需要先定性地知道:一个闭合通电线圈放入不均匀磁场中,会受到一个力,其大小与磁矩大小、磁感应强度变化率以及磁矩与磁力线的夹角有关

然后我们就来通过“磁矩”这个物理概念,理解“磁石召铁”的原理以及电子的自旋。

我们知道,物质的原子中,有电子绕原子核运动,这种运动(在经典物理图景中 )可以看成行星一样的圆周运动,于是会产生微观的环形电流,从而形成磁矩;

另一方面,电子自身还会有一种类似“自转”的性质(注意,不是真的自转! ),也会形成环形电流一样的效果,从而形成磁矩。

一块铁被磁铁吸引,就是因为内部铁原子原本杂乱分布的磁矩、在磁场中出现了某种宏观上的倾向性,从而在磁铁的不均匀磁场中受到了力。

(至于为什么会出现这种倾向性,这是个大坑,要用统计力学来填,本系列无法驾驭…… )

而这种具有倾向性的磁矩,就来自于电子的“自转”(不是真的自转! )的贡献,它的正式名称,即是自旋(Spin),它产生的这种磁矩具有固定的大小,我们在后文就直接记为 μ

到此为止,我们就至少从宏观上大致感受到自旋是个什么概念了。

虽然各位一定还想弄清楚,这个莫名其妙的自旋为什么会存在,但要从根本上解释自旋的来源,我们还有很长的路要走。

所以现在我们暂时不去理会“自旋为什么会存在”这种难缠的问题,而是回到本文的主题:Stern-Gerlach实验。


2) SG实验概述

我们知道,由于物理空间存在各向同性的性质,因此对于含有大量原子的普通物质而言,其内部各个电子的自旋方向(也就是自旋产生的磁矩方向 )应该是随机的,并且在空间中各个方向上具有等概率的分布。

但这里有个问题:作为微观粒子,电子自旋方向的这种随机性,是我们在经典物理中理解的那种随机性?还是暗藏着某种量子特性?

揭示这个答案的,就是SG实验(虽然SG实验的本来目的并不是这个…… )。

我们先从这个实验最简单的版本开始说起。

最简单版本的实验装置包括:一个加热炉、两个挖了小圆孔的挡板、一对磁极和一个接收屏

这里上个图,看看这套装置的样子:

然后我们来看看SG实验的大概流程:

首先,我们将一堆白花花的银子放到加热炉里烧化,这样就会有很多银原子被蒸发出来,然后从炉子的开口中逸出。

顺便说一句,各位千万不要因为这些银子被“白白烧掉”而感到惋惜。其实,相比于被做成货币,它们能被用在这么伟大的实验上面,其实是一种更“崇高”的归宿。

(这两种归宿就像是殉教的圣女和夜总会坐台的小姐一样天差地别…… )

好了,回到正题,我们继续追踪银原子的去向。

从加热炉逸出的银原子中,大部分会被一前一后两个带小孔的挡板挡住,只有一小撮会从两个小孔中通过。于是这两个小孔就起到了定向筛选作用,筛出了沿着正 x 方向运动的银原子。

这些银原子通过两块磁铁间分布于 z 方向的不均匀磁场后,会到达接收屏,如下图。

那么接下来问题来了:这些由大量银原子组成的银原子束,通过磁场后,会在接收屏上打出什么样的图案?

我们先从经典物理的假设出发来推测一下。


3) 基于经典物理的推测

首先,我们要知道一个事实:银原子虽然有47个核外电子,但其中46个电子的自旋磁矩都会相互抵消,最终只有最外层1个电子的自旋对整个银原子的磁矩做出贡献。

换句话说,银原子的整体磁矩大小就等于1个电子的自旋磁矩大小 μ

磁矩大小说完了,现在我们要来重点说说磁矩方向的影响,它是我们推测实验结果的关键

而这就要用到前面提到的磁矩在磁场中受力的矢量式了:

F=(μB)(4.4)

首先,我们将 F=(μB)其展开成分量形式,就是:

F=(Fx,Fy,Fz)=(x(μB),y(μB),z(μB))=(μBx,μBy,μBz)(4.5)

考虑到在SG实验的装置中,磁感应强度只沿着 z方向变化,所以我们可以只关注Fz 分量:

Fz=z(μB)=μBz=μxBxz+μyByz+μzBzz(4.6)

同时,由于银原子从磁场的正中间进入,此处磁场竖直向下,只有 z 分量有变化,于是:

Bxz=Byz0(4.7)

这样 Fz 就简化为:

Fz=μzBzz(4.8)

接下来,我们就用它讨论磁矩方向的影响。

按照经典物理的观念,进入磁场前,每颗银原子都已经有了一个确定的磁矩,磁矩的大小都是 μ ,但方向各不相同。

我们假设,某颗银原子进入磁场前,磁矩方向与+z 方向成 θ 角度,那么磁矩的 z 分量就是:

μz=μcosθ(4.9)

于是银原子飞入磁场后,受力大小就是:

Fz=μBzzcosθ(4.10)

有了这个式子,我们就可以讨论银原子打在屏幕上的图案了。

按照经典物理的理解,由于银原子的磁矩方向随机,所以不同的银原子的磁矩方向 θ ,可以在 0π之间任意取值,并且机会均等;

相应地,不同的银原子受到的力 Fz 的大小也就可以在 μBzμBz之间任意取值;

于是,不同银原子在 z 方向的加速度也可以从μmBzμmBz之间任意取值。

这样,通过磁场后的银原子的轨迹,也将可以在磁矩为 μ的银原子形成的轨迹和磁矩为 μ 的银原子形成的轨迹之间的平面上任意取值:

最后,当足够多个银原子打到接收屏上后,这些轨迹会在屏幕上形成一条 z 方向上的连续线段(如上图 )。

这就是经典物理假设对银原子打在屏幕上的图案的猜测。

然而实际结果如何呢?


4) 实际结果

SG实验的实际结果是:银原子一进入磁场,就自动劈裂了泾渭分明的两条轨迹,最后在屏幕上打出两个分离的斑点,如下图:

这就意味着,通过磁场的银原子的自旋磁矩方向,只有 +z z两种,而没有中间值

这看起来似乎就矛盾了:

明明银原子的磁矩是完全随机的,为啥在这个实验中反而变成两个“确定”的值了?

这就要从我们如何理解这种“随机”说起了。


5) SG实验结果的解释:如何理解随机性?

从经典观点来看,不同银原子的磁矩方向随机分布,但每个银原子的磁矩在进入磁场前就已经确定了,只是因为我们进行了类似“随机取样”的动作,所以整体看起来呈现随机性。

而假如我们一颗一颗去考察单颗的银原子,那么在经典世界里,我们会看到每颗银原子有一个确定的磁矩方向,这些具有各不相同的、确定磁矩方向的银原子,进入磁场后,最终就会走出一片连续分布的轨迹。

但实验结果却告诉我们,这个猜测并不对,实验结果背后隐藏的真正的随机性,其实是来自量子层面的。

那么,该怎么理解“量子层面”的随机呢?

这还是要从我们已经在前两课中学到的叠加态的角度来理解。

按照这种理解,对于任意一颗银原子,只要我们不去测量它在某个方向上(比如 z 方向上 )的磁矩,它就处于量子叠加态,而没有确定的方向。

而只有当我们去测量它的磁矩时,它才会随机坍缩到这个测量行为对应的本征态上,被我们测量到,换句话说,测量结果只能是被测量的物理量对应的本征态之一。

比如,如果我们去测量它在 z 方向的磁矩,那么测量结果就只能是“ z 方向磁矩”这个物理量的两个本征态,这正好就是“磁矩处于 +z 方向”和“磁矩处于 z 方向”两个结果,于是我们就看到,大量银原子通过磁场后,会形成两条泾渭分明的轨迹。

类比到第3课中虚构的“量子糖”上面,就好像我们第一次品尝量子糖的味道前,味道处于叠加态一样,只有品尝行为发生后,我们才能得到“甜”或“酸”两种结果。

而同样道理,如果我们要去测量银原子在 y 方向上的磁矩,那么我们也只能随机得到“磁矩处于 +y方向”或“磁矩处于 y方向”两种结果,而不可能出现“磁矩处于与 +y 方向成45°角”的情况。

再次类比到“量子糖”上面,就好像我们第一次观察量子糖的颜色前,颜色处于叠加态,只有观察行为发生后,才能得到“红”或“蓝”两种结果。

而在“量子糖”的例子中,我们还知道,当“品尝味道”和“观察颜色”两种行为交替进行的时候,会有一些奇怪的事情发生。

那么在真实的SG实验中,如果我们交替测量银原子 z 方向的磁矩和 y 方向的磁矩时,会不会也有一些奇怪的事情发生呢?

这个问题我们留到下一课再继续介绍,而现在,我们要来思考另一件有意思的事情。


6) 态空间与物理空间

首先来回顾我们在第2课中知道的一个“事实”:

一般情况下,一个物理量的不同本征态是(在抽象意义上 )相互正交的。

所以,在SG实验中,“ z 方向磁矩”的两个本征态:“磁矩处于 +z方向”和“磁矩处于 z 方向”两个结果也是正交的。换句话说,它们在态空间中的“夹角”是 π2

那么问题就来了:我们知道,两个本征态对应着磁矩处于+z 方向和磁矩处于 z方向,这两个方向在“真实的”物理空间中的夹角是π

如果将两个本征态在态空间中的“夹角”记为 φ 、在真实空间中的夹角记为 θ,那么从上面的分析可以看出,它们之间似乎有着简单的倍数关系: θ=2φ

而在后面我们还会看到,这个关系对于任意两个态矢量的“夹角”都成立。

也许有人要问了:这种关系仅仅是巧合、还是蕴含着更为精妙的数学结构?

关于这个,我们要到比较遥远的将来再来揭晓答案。

现在说这个,只是为了感受一下抽象的态空间和“真实”物理空间的区别、并且提醒我们在以后保持这个意识。


7) 下期预告

关于SG实验的来龙去脉以及背后蕴含的量子机理的介绍,到此就暂告一段落了。

不过,现在我们的SG实验还只完成了一半,就像我们在“量子糖”的故事中只品尝了“量子糖的味道”一样。

在下一课中,我们还要去发现,当我们在SG实验装置中做出类似于“交替品尝量子糖的味道和观察量子糖的颜色”这种行为时,会发生哪些有趣的事情。

同学们不妨先猜一猜这个实验的做法和结果。等我们到了第5课,再来看看你猜的对不对。


编辑于 2021-11-30 13:22