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版次: 2024
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《大学物理》内容提要目录

§4 刚体的转动

一、刚体的运动及其描述

1. 刚体概念

　　在任何情况下,形状和大小都不发生变化的物体。
　　任意两质点间距离保持不变的特殊质点系。

2. 刚体的运动

（1）平动: 刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同。－用质点力学处理刚体平动问题
（2）转动: 刚体上所有质点都绕同一直线(转轴)作圆周运动
　　本课程仅研究转轴不动的转动－定轴转动

3. 描述刚体定轴转动的物理量

（1）角位置(角坐标) $\theta$

（2）角速度 $\omega=\cfrac {{\rm d}\theta }{{\rm d}t}$

（3）角加速度 $\alpha =\cfrac {{\rm d}\omega }{{\rm d}t}$

备注：对一般转动，角速度定义为矢量$\vec \omega$，其方向按右手定则确定。在定轴转动问题中，仅存在正负两种指向，角速度简化为标量$\omega$ 。同理，角加速度矢量 $\vec \alpha$，在定轴转动问题中，简化为标量 $\alpha$。类似的，力矩、角动量等在定轴转动问题中，也简化为标量。

4. 常见转动形式

（1）匀速转动 $\theta =\omega t$

（2）匀变速转动 $\begin{cases} \omega=\omega_0+\alpha t\\ \theta=\omega_0t+\frac 1 2 \alpha t^2 \\ \omega^2-\omega_0^2=2\alpha\theta \end{cases}$

计算要求：★角量运动方程的应用 1) 已知运动方程，球速度、加速度 2) 已知角速度、加速度，求运动方程
典型习题：一、1

二、刚体定轴转动的转动定律

1. 力矩

（1）力矩矢量　$\vec M=\vec r\times \vec F$
　　$\vec r$ 是参考点(转轴)到力的作用点的位置矢量

（2）定轴转动中的（标量）力矩: $M=Fd$
　　$d$:力臂,转轴到力作用方向的垂直距离

2. 转动惯量

（1）定义　$J=\int r^2dm$

　　$r$ 是质量元$dm$ 与轴的距离
　　转动惯性的量度，与刚体总质量、质量的分布、轴的位置有关

（2）计算
　　对质量呈线分布的刚体 $dm=\lambda dl$，$\lambda$ 为质量线密度，作线积分。
　　对质量呈面分布的刚体 $dm=\sigma dS$，$\sigma$为质量面密度，作面积分。
　　对质量呈体分布的刚体 $dm=\rho dV$，$\rho$为质量密度，作体积分。

（3）平行轴定理
　　质量为$m$ 的刚体，如果对其质心轴的转动惯量为$J_c$ ，则对任一与该轴平行，相距为$d$的转轴的转动惯量为 $J=J_c+md^2$

计算要求：★转动惯量的计算。常融合在其他内容中考查。1） 按定义求和计算 2）常用结论,结合平行轴定理。

3. 刚体定轴转动定律

（1）定律　$M=J\alpha$
　　刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比 ，与刚体的转动惯量成反比

（2）应用
　　对物体系中转动物体应用转动定律
　　平动物体应用牛顿第二定律
　　寻找牵连关系(用角量、线量之间的联系)
　　联立方程组

计算要求：★★★转动定律的应用(常与质点问题相结合)。1）杆摆动问题 2）滑轮（组）问题
典型习题：一、3

三、刚体定轴转动的角动量定理及角动量守恒定律

1. 角动量

（1）质点的对参考点的角动量 $\vec L=\vec r\times\vec p$

（2）质点对转轴的角动量$L=mv \cdot d$

（3）刚体对转轴的角动量 $L=J\omega$

　　角动量又名动量矩

2. (刚体定轴转动)角动量定理　$\int Mdt=J\omega_2-J\omega_1$

　　$\int{Mdt}$称为冲量矩

　　作用在刚体上的冲量矩等于刚体角动量的增量

　　微分形式: $Mdt=dL$

　　成对内力的合力矩为零，对系统角动量的改变无贡献

计算要求：★角动量定理的应用 1) 计算冲量矩 2) 计算末状态
典型习题：三、4

3. 角动量守恒定律

（1）定轴转动的角动量守恒定律
　　$M^{ex}=0,\quad J\omega=\text{恒量}$
　　外力矩为零(无外力、或外力过轴线/平行于轴线)时，角动量守恒。

（2）物体系的角动量守恒定律
　　$\sum M=0,\quad \sum J_i\vec \omega_i+\sum\vec r_i \times m\vec v_i=\text{恒量}$
　　对由几个物体或质点构成的系统，若整个系统所受对同一转轴的合外力矩为零，则整个物体系对该转轴的总角动量守恒。

计算要求：★★角动量守恒的应用。注意是系统内质点的角动量、刚体的角动量之和守恒

四、刚体定轴转动中的能量关系

1. 力矩的功 　$W=\int Md\theta$

2. 角动能　$E_k= \cfrac 1 2 J\omega^2$

3. 角动能定理　$W=\cfrac 1 2J \omega_2^2-\cfrac 1 2 J\omega_1^2$

计算要求：★角动能定理的应用 1）力矩的计算 2）末状态的计算

4. 含转动动能的机械能守恒定律

（1）刚体重力势能$E_p=mgh_c$
　　刚体的重力势能等于将刚体的质量和重力均集中于质心处的质点的势能。

（2）刚体的机械能 $E=E_k+E_p=\cfrac 1 2J\omega^2+mgh_c$

（3）对于包括刚体的物体系，功能原理仍然成立

（4）包含转动动能的机械能守恒定律
　　若$W^{ex}+W_{nc}^{in}=0,$$\quad E=\text{恒量}$
　　外力和非保守内力不作功（只有保守内力作功）时，机械能守恒

计算要求：★★机械能守恒定律的应用。合适选择系统，使保守力作为内力

五、角动量守恒及机械能守恒的综合应用

　　物体系统碰撞前后在重力、弹力的作用下的转动问题。

　　1）需要分阶段讨论；2）碰撞问题：动量或角动量守恒，若为弹性碰撞，动能守恒；3）在重力、弹力作用下的转动：机械能守恒

物体系统中，若有转动轴（或支点），则碰撞时，轴上会根据需要产生外力，使得碰撞前后动量不守恒，但轴上外力不产生力矩（力臂为0），故碰撞前后角动量守恒。

计算要求：★★★角动量守恒及机械能守恒的综合应用。
典型习题：三、6、9